2015数学联赛辽宁赛区预赛试题详细解答

 

2015数学联赛辽宁赛区预赛试题详细解答

一、选择题

1、设a?

A4?24i?1,其中?x?表示不超过x的最大整数,集合A?xx?N,且x整除a,则A中的元素个数是()B6C8D12??

解答:a?1?3?2?5?3?7?4?9?70?2?3?5,所以拥有约数的数目为N??1?1???1?1???1?1??8,选C。2、若?ABC的三边a,b,c成等比数列,边a,b,c的所对的角依次为A,B,C,且

sinAsinB?sinBsinC?cos2B?1,在角B为A?B?2C?D2?解答:sinAsinB?sinBsinC?1?cos2B?2sinB,

根据正弦定理得:ab?bc?2b,即a?c?2b。

又由题意得ac?b,联立解得a?b?c,因此B?

2222?,选B33、已知函数f?x??x?53x?196?x?53x?196,则f?1??f?2??...?f?50??

A660B664C668D672

解答:f?x???x?4??x?49???x?4??x?49?,

?2?x?4??x?49?,x?4?因此f?x???0,4?x?49?2?x?4??x?49?,x?49?

所以f?1??f?2??...?f?50??2?f?1??f?2??f?3??f?50???2??3?48?2?47?1?46?46?1??660。选A4、已知数列?an?是有正整数组成的递增数列,且an?2?an?1?2an,?n?N?,若a5?52,则a7?A102B152C212D273

解答:a3?a2?2a1;a4?a3?2a2?a2?2a1?2a2?2a1?3a2;

a5?a4?2a3?2a1?3a2?2?a2?2a1??6a1?5a2?52。

由于a1,a2?Z,且a1?a2,所以必然有a1?2,a2?8。?

?a4?28,a6?a5?2a4?108,a7?a6?2a5?212。选C

5、长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?AA1?1,AD?2,则异面直线A1D与B1D1的距离为A1B12C23D3

2

解答:以A为原点,1为x轴为正方向,为y轴正方向,为z轴正方向,建立空间坐标系。

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