2016年江苏省高考题第14题的解题分析【徐明命制】

 

2016年江苏省高考题第14题的解题分析

试题:在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值为 . 解析:先说条件,由sinA=2sinBsinC,能想到什么?

第一直觉应该是正弦定理,但结构不对称,无法用边表示,同时目标tanAtanBtanC也是无法用边来表示的.

那第二条思路应该是什么?利用sinA=sin(B+C),将条件化为

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

联系到目标,你应该知道条件的转化方向,同除以cosBcosC,得

tanB+tanC=2tanBtanC.

再看目标:tanAtanBtanC的最小值,求最值的信息预示两个解题方向,一是函数最值,二是基本不等式.

因为条件只有tanB,tanC,所以需要将tanA用tanB,tanC,得

tanB+tanCtanAtanBtanC= tanBtanC, tanBtanC-1

结合条件,将tanB+tanC用tanBtanC表示,且tanBtanC作整体换元,得

2t22tanAtanBtanC=2(t-1)+?8,当且仅当t=2时取等号. t-1t-1

锐角三角形的作用在于保证t>1.

最后,如果你能由目标式tanAtanBtanC联想到三角形内一个重要的正切等式:

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

本题会更简捷:因为tanAtanBtanC= tanA+tanB+tanC

=tanA+2tanBtanC?2 tanAtanBtanC.

所以tanAtanBtanC?8.

当然,如果你先入为主的是条件与目标间的“切”与“弦”,自然会想到“切化弦”!这样从目标入手,有

sinAsinBsinCtanAtanBtanC=, cosAcosBcosC

这时你最容易想到的是由条件,用sinA表示sinBsinC吧?.

sinAsinBsinCsin2AtanAtanBtanC== cosAcosBcosC2cosAcosBcosC

现在的问题应该是转化为关于A的函数最值问题,难点是如何将cosBcosC用A表示? 实际上,由cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC,得

1cosBcosC=sinBsinC-cosAsinA-cosA, 2

sin2Atan2A4所以tanAtanBtanC==(tanA-2)+?8,当且仅当cosA(sinA-2cosA)tanA-2tanA-2

tanA=4时取等号.

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